习题 4, § 1

设 T 为集合，M 为 T 上的负担，E 为实数或复数 Banach 空间，p 为有限实数，使得 $p \geq 1$。用T到E中的映射的$\mathscr{F}$集合来表示，并且，对于$\mathscr{F}$中或$\mathscr{F}_+(T)$中的$f$，集合$N_p(f) = M(|f|^p)^{1/p}$。

a) 对于 $\mathscr{F}_+(T)$、$N_p\left( \sum_{n \geq 1} f_n \right) \leq \sum_{n \geq 1} N_p(f_n)$ 中的每序列 $(f_n)_{n \geq 1}$ 元素。

b) 令$\mathscr{F}^p$为$f \in \mathscr{F}$的集合，使得$N_p(f)$是有限的。证明$\mathscr{F}^p$是$\mathscr{F}$的线性子空间，$N_p$是$\mathscr{F}^p$的半范数。证明 $f \in \mathscr{F}^p$ 的集合 $\mathscr{N}$，使得 $N_p(f) = 0$ 等于 $f \in \mathscr{F}$ 的集合，并且零在可忽略的 M 集合之外。证明规范化的空间 $\mathscr{F}^p / \mathscr{N}$ 是完整的（cf. Ch. IV, §3, No. 3）。