习题 10, § 3

令 $X$ 为不可数无限集合，配备良好排序的关系，表示为$x \leq y$。对于每个 $x \in X$，1 表示 $y \in X$ 的 $I(x)$ 集合，使得 $y < x$。我们做出以下假设：$\alpha$$X$中存在最大的元素$a$；严格小于$\mathrm{Card}(X)$的基数$\beta$集合有最大的元素$c$； $\gamma$ 对于 $I(a)$ 中的每个 $x$，都有 $\mathrm{Card}(I(x)) \leq c$，以及 $x \in X$ 的集合 $Y$，使得 $\mathrm{Card}(I(x)) = c$ 为非空；

δ) 集合与基数 $\leq c$ 上的每个规范都是原子的。证明 X 上的每个量规都是原子的。可以通过以下方式进行反证论证：设$m$为X上的非零的漫射规。用 Y 的 b 最小的元素表示，对于每个 $x \in I(a)$，令 $f_x$ 为 $I(x)$ 的单射到 $I(b)$。对于每个对$(x, y) \in I(a) \times I(b)$，用元素$z \in X$的$A_{x,y}$集合表示，使得$x < z < a$和$f_z(x) = y$；对于每个$x \in I(a)$，用$y \in I(b)$的$M_x$集合表示，使得$m(A_{x,y}) > 0$，并且对于每个$y \in I(b)$，用$x \in I(a)$的$N_y$集合表示，使得$m(A_{x,y}) > 0$。使用Exer。 9 c),证明$m(X) = \sum_{y \in I(b)} m(A_{x,y})$;由此推断集合$M_x$是可数的，并且对于每个$x \in I(a)$有非空；然后证明集合$N_y$都是可数的，并由此推导出矛盾$\mathrm{Card}(X) = c$。