习题 13, § 3

在这个习题中，我们承认连续统假设，也就是说，我们邻接集合理论的公理公理“Card($\mathbf{R}$)是最小的不可数基数”。 (1)

a) $\mathbf{R}$ 上的每个量规都是原子的 (cf. Exer. 11)。

b) 设 X 为集合，$m$ 为 X 满足的量规，以下性质：对于 X 的每个子集 A，使得 $m(A) > 0$，存在 A 的子集 B，使得$0 < m(B) < m(A)$；那么$m$是零（对于每个整数$n \geq 1$，存在X的有限划分$(X_{n,i})_{i \in I_n}$，使得$m(X_{n,i}) \leq 1/n$对于所有$i \in I_n$；集合$I = \prod_{n \geq 1} I_n$并且I中的每个$\alpha = (\alpha_n)_{n \geq 1}$有$X_\alpha = \bigcap_{n \geq 1} X_{n,\alpha_n}$；$(X_i)_{i \in I}$族是X的划分，每个$i \in I$有$m(X_i) = 0$，并且I上的每个规范都是a）的原子； 结论通过 Exer。 9c))。

c) 设X为集合，其上不存在任何非平凡的Ulam超滤器；那么X上的每个规范都是原子的（否则，通过b），在X和X的子集A上将存在一个扩散规范$m$，使得$m(A) > 0$并且对于A的每个子集B有$m(B) = 0$或$m(A - B) = 0$； 集合 $\mathscr{U}$ 子集 B X 使得 $m(A) = m(A \cap B)$ 将是 X 上的非平凡 Ulam 超滤器）。

d) Show that $2^c$ is an Ulam cardinal for every Ulam cardinal c (by c), it suffices to show that if C is a set with cardinal c, then every Ulam ultrafilter $\mathscr{U}$ on $X = \{0, 1\}^C$ is trivial; equip C with a well-ordering structure and define by transfinite induction a family $s = (s_\alpha)_{\alpha \in C}$ of elements of $\{0, 1\}$ such that set of $x = (x_\alpha)_{\alpha \in C}$ in X for which

(1) 同样的，$\mathbf{R}$可以配备一个良序的结构$\prec$，其中集合或$x \in \mathbf{R}$使得$x \prec a$对于每个$a \in \mathbf{R}$都是可数的。已经证明（cf. P. COHEN, Proc. Nat. Acad. Sci. U.S.A. 50 (1963), 1143–1148 和 51 (1964), 105–110），该公理不会在集合论中引入任何新的矛盾，而且它独立于其他公理集合理论。

$x_\alpha = s_\alpha$对于所有$\alpha \leq \beta$属于到$\mathscr{U}$对于每个$\beta \in C$（cf.Exer.12）；然后$s$属于到$\mathscr{U}$的每元素。(2)