习题 2, § 3

令 E 为集合，$\Phi$ E 的子集族，V 为完全格序的 Riesz 空间。如果$m(A) \geq 0$对于所有$A \in \Phi$来说，$\Phi$到V的映射 m 被认为是正的，如果$m(A \cup B) = m(A) + m(B)$当集合、$A \in \Phi$和$B \in \Phi$是不相交的时，它是可加的，并且它是相对有界的如果对于任何 $A \in \Phi$，$B \in \Phi, B \subset A$ 的元素 $m(B)$ 的集合在上面的 V 内有界。

a) 令 m 为 $\Phi$ 到 V 的相对有界映射。如 Exer 中，每 A 元素 $m_+(A), m_-(A)$ 和 $|m|(A)$ 对应 V 一个定义。 1a）。证明对于A的所有有限划分$(A_i)_{1 \leq i \leq p}$到集合属于，$|m|(A)$是形式$\sum_{i=1}^{p} |m(A_i)|$V元素集合的上界至$\Phi$。由此推论，$\Phi$到V的映射$|m|$是相加的，那么m就是$\Phi$到V的相加正值映射$m_+$与$m_-$之差。

b) 令$m'$和$m''$为$\Phi$的两个加法正值映射到V，并令$m = m' - m''$。证明 m 是相对有界的，并且 $m' \geq m_+$ 和 $m'' \geq m_-$。

c) 概括Exer。 1d）。