习题 4, § 3

记号和假设是前面的习题的假设。将$\mathscr{T}$的每映射米的$(E, \mathscr{T})$称为$\overline{\mathbf{R}}_+$，具有以下性质：对于集合属于到$\mathscr{T}$的每个序列$(A_n)_{n \in \mathbf{N}}$，成对的不相交的，有一个$m(\bigcup_{n \in \mathbf{N}} A_n) = \sum_{n \in \mathbf{N}} m(A_n)$。将 $\mathscr{M}$ 的每映射 J 的$(E, \mathscr{T})$ 称为$\overline{\mathbf{R}}_+$ 满足，以下条件：对于 $\lambda \in \overline{\mathbf{R}}_+$ 和 $f \in \mathscr{M}$，$\alpha)$ $J(\lambda \cdot f) = \lambda \cdot J(f)$（采用通常的约定$0 \cdot (+\infty) = 0$）； $\mathscr{M}$ 元素每序列 $(f_n)_{n \in \mathbf{N}}$ $\beta)$ $J\left( \sum_{n \in \mathbf{N}} f_n \right) = \sum_{n \in \mathbf{N}} J(f_n)$。

a) 令 J 为 $(E, \mathscr{T})$ 上的积分；对于每个子集 $A \in \mathscr{T}$、集合 $m_J(A) = J(\varphi_A)$；证明$m_J$是一个抽象测度，映射$J \mapsto m_J$是$(E, \mathscr{T})$上的积分集合到$(E, \mathscr{T})$上的抽象测度集合的双射（如果m是一个抽象测度，首先定义 $J(f)$ 通过有限正 $\mathscr{T}$ 步长函数的线性并使用 Exer 3 e))。如果m是一个抽象测度，我们将用$m^*$相应的积分来表示。

b) 令 m 为 $(E, \mathscr{T})$ 上的抽象测度。对于 E 上的每个正函数 f，无论是否有限，集合 $m^*(f) = \inf_{g \in \mathscr{M}, g \geq f} m^*(g)$。证明$m^*$是E上的负担（模仿第IV, §1, No. 3章第3章的证明）。 E 的每子集 A 就有一个集合 $m^*(A) = m^*(\varphi_A)$。