习题 9, § 3

令$X$为集合；将 $X$ 上 $\mathscr{P}(X)$ 的每个可数加法映射称为 $\mathbf{R}_+$；如果 $m(\{x\}) = 0$ 对于所有 $x \in X$，则 $X$ 上的规范 $m$ 被认为是扩散的，并且如果 $X$ 上存在正的函数 $f$，使得 $m(A) = \sum_{x \in A} f(x)$ 对于每个子集 $A$ ，则被认为是原子的$X$。

a) 表明 $X$ 上的每个规范都可以以独特的方式分解，如漫射规范和原子规范的和。

b) 令$X'$为$X$的子集，且$m'$为$X'$的标尺；每子集 $A$ 共 $X$，一个集合 $m(A) = m'(A \cap X')$。证明 $m$ 是 $X$ 上的规范，并且当且仅当 $m'$ 具有相同的性质时，它是扩散的（或原子的）。

c) 令 $m$ 为 $X$ 的量规，并令 $(X_i)_{i \in I}$ 为 $X$ 的成对不相交的子集族。如果$I$上的每个量规都是原子的，那么$m(\bigcup_{i \in I} X_i) = \sum_{i \in I} m(X_i)$。