习题 2, § 4

假设 和记号是 Th 的假设。 No. 2中的第1个，我们建议为其指示一个新的证明。

a) 设$K$是$T$的紧子集；对于每个$i \in I$，集合$K_i = p_i(T)$，并用$K$到$K_i$的$q_i$映射表示$K$上的重合和$p_i$；对于$i \leq j$，用$K_j$到$K_i$的$q_{ij}$映射表示，$K_j$上的重合和$p_{ij}$。从前面的习题推出最大的对$K$的正测度$\pi^K$的存在，使得$q_i(\pi^K) = (\mu_i)_{K_i}$对于所有$i \in I$。

b) 如果$K$和$L$是$T$的紧子集使得$K \subset L$，则证明$(\pi^L)_K \geq \pi^K$；由此推导出形式$i^K(\pi^K)$的度量的集合（其中$K$超过$T$的紧凑子集的集合，并且$i^K$是$K$的典范嵌入） $T$) 在$\mathscr{M}_+(T)$ 中承认一个至高$\mu$。

c) 证明对于每个 $i \in I$ 都有 $p_i(\mu) = \mu_i$（只要观察到 $p_i(\mu) \leq \mu_i$ 以及度量 $p_i(\mu)$ 和 $\mu_i$ 的总质量与假设 (P) 相同）。