习题 10, § 5

令 T 为完全正则空间；用 T 上实数函数 $f \geq 1$ 的 $\mathscr{S}$ 集合表示，使得 T 的点 t 的集合对于每个实数 c 来说 $f(t) \leq c$ 是紧致的。对于每个 $f \in \mathscr{S}$，用 T 上的有界测度 $\mu$ 的 $\mathscr{M}_f$ 集合表示，使得 $|\mu|^\bullet(f) \leq 1$。

a) 对于$\mathscr{M}^b(T)$到满足普罗霍罗夫的条件的子集 H，存在$f \in \mathscr{S}$使得$H \subset \mathscr{M}_f$是充分必要的（必要时，取$f$为形式$c(1 + \sum_{n \geq 1} n \cdot f_n)$，其中$f_n$是集合$U_n$的特征函数，使得$T - U_n$是紧凑的并且$\sup_{\mu \in H} |\mu|^\bullet(U_n) \leq 2^{-n}$）。

b) 假设 T 是局部紧的。为了使 $\mathscr{M}^b(T)$ 的子集 H 相对紧凑（对于紧的拓扑），存在连续的函数 $f \in \mathscr{S}$ 使得 $H \subset \mathscr{M}_f$ 是充分必要的。

c) 令 C 为 $\mathscr{M}_+^b(T)$ 中的封闭凸锥体。证明对于每个 $f \in \mathscr{S}$，$C \cap \mathscr{M}_f$ 是 C（TVS，II, §7, No. 2，定义 3）的上限，并由此推断出 C 是其上限的并。用 C 的极值生成元的 E 并表示。假设 T 是苏斯林。证明对于每个 $\pi \in C$，存在 E 中包含的 $\mathscr{M}_+^b(T)$ 的 Borel 子集 B 和总质量为 1 的 B 上的正测度 P，使得 $\pi = \int_B \mu dP(\mu)$（应用 Choquet 积分表示定理）。