习题 3, § 5

令 T 为 T 上紧密收敛于测度 $\mu$ 的有界正测度的波兰空间和 $(\mu_n)$ 序列。用 T 的子集 A 的 $\mathscr{C}$ 集合表示，具有以下性质：对于每个 $\varepsilon > 0$，存在 A 的紧凑子集 K，使得 $\sup_{n} \mu_n(A - K) < \varepsilon$。令 $\mathscr{D}$ 为 T 的子集 A 的集合，连同它们的补码，属于到 $\mathscr{C}$。

a) 如果集合 A 和$A'$ 属于到$\mathscr{C}$，则$A \cup A'$ 和$A \cap A'$ 也同样；由此推断$\mathscr{D}$是T的子集的氏族。

b) T 的每个子集 A，其边界为 $\mu$-可忽略的属于到 $\mathscr{D}$（将 Prokhorov 的定理应用于 A 的内部，并使用 Exer.2 e））。

c) 每个$A \in \mathscr{D}$都是集合对于序列$(\mu_n)$的收敛（cf.Exer.2）；相反，每个开或闭收敛集合属于到$\mathscr{D}$。

d) 设 $A \in \mathscr{D}$。证明 T 中存在不相交的紧集 $K_p$ 的序列和子集 N，具有以下性质： $\alpha)$ 每个 $K_p$ 都是序列 $(\mu_n)$ 的收敛集合； $\beta)$$A \subset N \cup \bigcup_p K_p$和$\bigcup_p K_p \subset A \cup N$； $\gamma)$ 对于每个 $\varepsilon > 0$，存在一个 N 的开邻域 U，使得 $\sup_{n} \mu_n(U) < \varepsilon$（应用 Exer.2 f）和 Prokhorov 的定理到合适的 T 的子空间，即开集合的序列的交）。