习题 5, § 5

令 E 为实希尔伯特空间，承认正交基$(x_n)_{n \in \mathbf{N}}$。令T为空间E，配备弱化的拓扑，并令$(a_n)_{n \in \mathbf{N}}$为实数的序列，使得$0 < a_n < 1$对于所有n和$\lim_{n \to \infty} n^2 \log a_n = 0$。对于每个$n \in \mathbf{N}$，集合$\mu_n = \sum_{p \in \mathbf{N}} a_n^p (1 - a_n) \cdot \varepsilon_{n \cdot x_p}$。证明对于每个 $n \in \mathbf{N}$、$\lim_{n \to \infty} \mu_n = \varepsilon_0$（紧密收敛）和$\lim_{n \to \infty} \mu_n(K) = 0$，对于 T 的每个紧凑子集 K，$\mu_n$ 是总质量 1 T 的有界正测度（应用 0 邻域的前面习题到集合 $\mathscr{U}$ 的标准） 形式 $\{ x | (a|x| \leq 1 \}$，其中 a 超过 E)。特别是，序列$(\mu_n)_{n \in \mathbf{N}}$的元素的集合是$\mathscr{M}_+^b(T)$的相对紧凑的子集，而不是满足普罗霍罗夫的条件。