习题 6, § 5

令 T 为 T 上正测度的拓扑空间和 H 集合；假设满足以下条件： (V) T 的每个点都承认一个开邻域 W，使得 $\sup_{\mu \in H} \mu^*(W)$ 是有限的。

最后，令 $\mathscr{U}$ 为 H 上的超滤器。

a) 令 K 为 T 的紧致子集。证明诱导测度 $\mu_K$ ($\mu \in H$) 相对于 $\mathscr{U}$ 模糊地收敛到 K 上的测度 $\pi^K$。

b) 设 K 和 L 是 T 的两个紧致子集，使得 $K \subset L$；表明$(\pi^L)_K \geq \pi^K$。

c) 对于 T 的每个紧凑子集 K，令 $i^K$ 为 T 中 K 的典范嵌入。证明测度族 $i^K(\pi^K)$ 在 $\mathscr{M}_+(T)$ 中承认一个上确界 $\pi$。

d) 设$f$为T上的下半连续正函数，$g$为T上具有紧支撑的上半连续正函数。证明 $\pi^*(f) \leq \lim_{\mu, \mathscr{U}} \mu^*(f)$ 和 $\pi^*(g) \geq \lim_{\mu, \mathscr{U}} \mu^*(g)$。