Bourbaki

习题 3, § 2

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积分, V, p. 95

Google 翻译生成的粗略草稿，质量较低。术语依照术语表，但句子可能有误；之后会由仔细的译文取代。

令 T 为 R\mathbf{R} 的紧致区间 [0,1][0, 1]；对于每个整数 n>0n > 0，令 λn\lambda_n 为度量

f↦1n∫01f(x)sin⁡2nπx dx f \mapsto \frac{1}{n} \int_0^1 f(x) \sin 2n \pi x \, dx
证明，在配备模糊拓扑（或配备准强拓扑（Ch.III, §1，Exer.8））的空间M(T)\mathscr{M}(T)中，测度(λn)(\lambda_n)的序列是可求和的，但是序列 (∣λn∣)(|\lambda_n|) 不是。 （观察如果αn=n⋅λn(f)\alpha_n = n \cdot \lambda_n(f)则∑nαn2<+∞\sum_n \alpha_n^2 < +\infty，通过利用贝塞尔不等式，并由此通过柯西-施瓦茨不等式推导出∑n∣λn(f)∣<+∞\sum_n |\lambda_n(f)| < +\infty。）

解答

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