Bourbaki

习题 3, § 3

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积分, V, p. 96

Google 翻译生成的粗略草稿，质量较低。术语依照术语表，但句子可能有误；之后会由仔细的译文取代。

设T、T'是两个局部紧致空间，μ\mu是T上的正测度，μ′\mu'是T'上的正测度。 乘积空间 X=T×T′X = T \times T'、集合 λt=εt⊗μ′\lambda_t = \varepsilon_t \otimes \mu'、λt′′=μ⊗εt′\lambda'_{t'} = \mu \otimes \varepsilon_{t'} t∈T,t′∈T′t \in T, t' \in T'。 T（分别为 T'）的映射 t↦λtt \mapsto \lambda_t（分别为 t′↦λt′′t' \mapsto \lambda'_{t'}）到 M(X)\mathscr{M}(X) 是模糊连续的并且 μ\mu 足够（分别为 μ′\mu' 足够），并且

ν=μ⊗μ′=∫λtdμ(t)=∫λt′′dμ′(t′) \nu = \mu \otimes \mu' = \int \lambda_t d\mu(t) = \int \lambda'_{t'} d\mu'(t')

（第III, §4, No. 1；cf.§8）。 T 取 R\mathbf{R} 的区间 [0, 1]，μ\mu 勒贝格测度，T' 取离散拓扑的区间 [0, 1]，μ′\mu' 取 T' 上的测度，由 T' 的每点处的质量 +1 定义。令 f 为 X 的“对角的”的特征函数（点 (t, t) 的集合，如果 t 超出 [0, 1]）。证明 f 是上半连续并且

1=∫∗dμ(t)∫∗f(x)dλt(x)<∫∗f(x)dν(x)=+∞ 1 = \int^* d\mu(t) \int^* f(x) d\lambda_t(x) < \int^* f(x) d\nu(x) = +\infty

和

0=∫∗f(x)dν(x)<∫∗dμ(t)∫∗f(x)dλt(x)=1. 0 = \int^* f(x) d\nu(x) < \int^* d\mu(t) \int^* f(x) d\lambda_t(x) = 1 .
解答

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