习题 7, § 3

a) 令 $\Lambda : t \mapsto \lambda_t$ 为 T 的映射的标量本质上可积为 $\mathscr{M}_+(X)$，并令 $\nu = \int \lambda_t d\mu(t)$。证明对于 X 上定义的每个下半连续函数 $f \geq 0$，

b) 假设$\Lambda$是$\mu$-预充分，用$\mu'$表示正测量$\leq \mu$，并写出$\mu = \mu' + \mu''$，$\nu' = \int \lambda_t d\mu'(t)$。从 a) 推出，对于每个 $\nu$ 可积的下半连续函数 $f \geq 0$，

扩展这个结果是一个较低的半连续函数 $f \geq 0$，即 $\nu$ 调节的。由此推断，如果 $\nu$ 是一个调节测度（特别是，如果 X 在无穷大处可数），则 $\Lambda$ 是 $\mu$ 充分的。