习题 11, § 5

设 $S$ 为紧凑型石头空间（Ch. II, §1，Exer. 13 f)）；如果对于$S$上连续函数的每个递增有向族$(f_\alpha)_{\alpha \in A}$，$S$上的正测度$\mu$被认为是“正态”，其上界在$\mathscr{C}(S)$中，并且其在完全格序空间$\mathscr{C}(S)$中的上界为$f$（其上界不一定等于族$(f_\alpha)$的上信封），一个人有$\mu(f) = \sup_{\alpha \in A} \mu(f_\alpha)$。如果正测量 $\lambda^+$ 和 $\lambda^-$ 正常，则称 $S$ 上的实际测量 $\lambda$ 是正常的。

a) 为了使$S$上的正测度$\mu$正常，每个无处密集的子集$A$是$\mu$可以忽略不计是必要且充分的（要看到条件是必要的，请考虑$S$包含中的集合 $A$ 是开闭的；要查看条件是充分的，请观察上面有界的递增有向族 $(f_\alpha)$ 的$\mathscr{C}(S)$ 中的上界在微不足道的集合的补集上相等（cf. Ch. II, §1，锻炼 13 f））。由此推论$\mu$的支撑既是开放的又是封闭的。

b) 令$\mu$为$S$上的正常正测度，$f$为$\mu$可测量的数值函数，以及$g$最大的下半连续函数在$S$上，即$\leq f$。证明 $f$ 和 $g$ 对于 $\mu$ 来说几乎处处都相等（cf. Ch. IV, §5，Exer. 16 b)）。由此推断，对于$S$中的每个$\mu$可测量的子集$A$，$A - \overset{\circ}{A}$和$\overline{A} - A$的$\mu$可以忽略不计。

c) 证明，在 $S$ 上测度的 Banach 空间 $\mathscr{M}(S)$ 中，正常测度的集合是闭合线性子空间，并且是 $\mathscr{M}(S)$ 的完全格序空间结构的带。