习题 17, § 5

a) 令 $\mu$ 为区间 $\mathrm{T} = [0, +\infty[$ 上的勒贝格测度。证明如果$1 \leqslant r < s < +\infty$，由$L^r$和$L^s$弱化拓扑在$L^r \cap L^s$上导出的拓扑不具有可比性（cf. Ch. IV, §6，Exer. 8）。如果$f_n$是区间$[n, n+1]$的特征函数，则表明对于所有$L^p$的弱化拓扑使得$p > 1$，序列$(\widetilde{f}_n)$趋于0，但对于弱化的拓扑则不趋于0 $L^1$。

b) 令 $\lambda$ 为区间 $\mathrm{T} = [0, 1]$ 上的勒贝格测度。证明如果$r < s$，$L^s$的弱化拓扑严格地更细比$L^s$上的拓扑是由$L^r$的弱化拓扑引起的（cf. Ch. IV, §6，Exer。 8).

c) 令$\mu$为离散空间的正测度，其中每个点都有测度1。证明如果$1 \leq r < s < +\infty$，则$L^r$的弱化拓扑严格地更细比弱化在$L^r$上引起的拓扑严格拓扑 / $L^s$（第 IV, §6 章，练习 9）。