习题 20, § 5

a) 令$(f_n)$为$\mathscr{L}^1$中函数的序列，使得：1°序列$(f_n)$在度量上收敛于0； 2° 对于每个 $\varepsilon > 0$，都存在一个 $\eta > 0$，使得关系 $\mu^*(A) \leq \eta$ 蕴含 $\limsup_{n \to \infty} \int_A^* |f_n| d\mu \leq \varepsilon$；对于每个 $\varepsilon > 0$ 3°，存在一个可积的集合 $B$，使得对于所有 $n$ 都有 $\int_{T - B} |f_n| d\mu \leq \varepsilon$。证明序列 $(f_n)$ 均值收敛于 0。 b) 令$\mu$为$T = [0,1]$的勒贝格测度。对于$1 < p < +\infty$，用$f_n$函数表示，在区间$\left[ \frac{1}{n+1}, \frac{1}{n} \right]$中等于$n^{2/p}$，在其他地方等于0。证明序列$(f_n)$满足a)的三个条件，并且对于$L^p$的弱化拓扑，序列$(\widetilde{f}_n)$收敛于0，但对于阶均值收敛的拓扑则不收敛$p$。