习题 21, § 5

a) 令$(f_n)$为$\mathscr{L}^1$中函数的序列，这样：$T$中几乎所有地方都有1°$\liminf_{n \to \infty} f_n(t) \geq 0$； 2° 对于每个$\varepsilon > 0$，都存在一个$\eta > 0$，使得关系$\mu^*(A) \leq \eta$蕴含$\limsup_{n \to \infty} \int_A^* |f_n| d\mu \leq \varepsilon$；对于每个 $\varepsilon > 0$ 3°，存在一个可积的集合 $B$，使得对于所有 $n$ 都有 $\int_{T - B} |f_n| d\mu \leq \varepsilon$； 4° $\lim_{n \to \infty} \int f_n d\mu = 0$。表明序列 $(f_n)$ 均值收敛于 0。（观察到，对于每个 $\varepsilon > 0$，如果 $C_m$ 是 $t \in T$ 的集合，使得 $f_n(t) \geq -\varepsilon$ 对于至少一个 $n \geq m$，则序列 $(C_m)$ 是递减，交可以忽略不计。） b) 设$(f_n)$为$\mathscr{L}^1$中函数的序列，使得：1°存在可积函数$g$，使得$f_n \geq g$对于所有$n$； 2° $\liminf_{n \to \infty} f_n(t) \geq 0$ 几乎无处不在； 3°$\limsup_{n \to \infty} \int f_n d\mu \leq 0$。证明序列 $(f_n)$ 均值收敛于 0。（首先证明，对于每个可测量的集合 $A$、$\liminf_{n \to \infty} \int_A f_n d\mu \geq 0$；然后观察，对于每个可测量的集合 $A$，

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