习题 31, § 5

令 $\theta$ 为 T 的复测度，F 为 Banach 空间。

a) 证明空间 $L^1_{loc}(T, \theta; F)$ 是完整的。 （将$|\theta|$写在形式$\sum_\alpha \mu_\alpha$中，其中$(\mu_\alpha)$是T上的可求和测度族$\geqslant 0$，其支持形式成对不相交的紧凑子集的局部可数族。 这个定义是$L^1_{loc}(T, \theta; F)$的连续映射进入$\prod_\alpha L^1_F(T, \mu_\alpha)$。 令 $\mathfrak{F}$ 为 $L^1_{loc}(T, \theta; F)$ 上的柯西滤波器。 它在$\prod_\alpha L^1_F(T, \mu_\alpha)$中的像收敛到元素$(f_\alpha)$。 证明 T 上的 $f_\alpha$ 定义 a $\theta$ 可测函数 f，则 f 是局部 $\theta$ 可积，并且 $\dot{f}$ 是 $L^1_{loc}(T, \theta; F)$ 中 $\mathfrak{F}$ 的极限。）

b) 设 p 为实数 $> 1$。用 T 上 $\theta$ 可测函数 f 的 $\mathscr{L}^p_{loc}(T, \theta; F)$ 向量空间和 F 中的值表示，使得 $|f|^p$ 是局部 $\theta$ 可积的。为其配备半范数 $f \mapsto (\int |f \varphi_K|^p d|\theta|)^{1/p}$，其中 K 运行于 T 的紧凑子集的集合。令 $L^p_{loc}(T, \theta; F)$ 为关联的 Hausdorff 空间。证明这个空间是竞争的。 （与 a) 中的方法相同。）