习题 7, § 5

a) 令$\mu$为$T$的正测度，并令$A$为$\mu$可积集合，使得$\mu(A) > 0$。证明，如果对于每个 $\mu$ 可积集合 $B \subset A$，或者 $\mu(B) = 0$ 或 $\mu(B) = \mu(A)$，则存在点 $a \in A$ 使得 $\mu(\{a\}) = \mu(A)$。 （考虑紧集$K \subset A$的交，使得$\mu(K) = \mu(A)$；表明它是非空，其度量等于$\mu(A)$，并且约化等于单个点。）

b) 假设 $\mu$ 是扩散测度。对于每个$\mu$可积集合$A$使得$\mu(A) > 0$和每个$\varepsilon > 0$，表明存在$A$的$\mu$可积子集$B$使得$0 < \mu(B) \leq \varepsilon$（观察，在$a$）的帮助下，存在$A$的$\mu$可积子集$C$使得$0 < \mu(C) \leq \frac{1}{2} \mu(A)$）。由此推论，当$X$超过$A$的$\mu$可积子集的集合时，$\mu(X)$的值集合就是闭区间$[0, \mu(A)]$（对于每一个数 $\beta$使得$0 < \beta < \mu(A)$，令$\gamma$为$A$的可测子集$X$的测度的上界，使得$\mu(X) \leq \beta$；首先利用前面的结果证明$\gamma = \beta$存在，然后证明存在递增序列$(X_n)$可测量子集或$A$使得$\lim_{n \to \infty} \mu(X_n) = \beta$）。