习题 13, § 6

在 $\mathbf{R}$ 的紧凑区间 $I = [a, b]$ 中，令 $(f_n)$ 为连续的序列，递增有限函数，使得 $f_n(a) = 0$ 对于所有 $n$ 且和 $s(x) = \sum_{n=1}^\infty f_n(x)$ 在 $I$ 上是有限的。证明存在集合 $N \subset I$，对于勒贝格测度可以忽略不计，这样，对于每个 $x \in I - N$，存在导数 $f'_n(x)$ 和 $s'(x)$ 以及 $s'(x) = \sum_{n=1}^\infty f'_n(x)$（'Fubini 的定理'）。 （使用Exer。12.观察级数与一般项$f'_n(x)$几乎处处收敛；设定

接下来考虑一个子序列$(s_{n_k})$，使得级数与一般项$s(x) - s_{n_k}(x)$收敛于$I$，并将前面的注应用于此级数。）