习题 2, § 6

设T和X为T的适当连续映射的两个局部紧空间、$\mathscr{P}$集合入X，配备紧致收敛的拓扑。令 H 为 $\mathscr{P}$ 的子集，这样，对于 X 的每个紧致子集 K，集合 $\pi^{-1}(K)$ 的并（其中 $\pi$ 在 H 上运行）在 T 中相对紧致。

a) 证明当空间 $\mathscr{M}(T)$ 和 $\mathscr{M}(X)$ 都配备了准强拓扑（Ch.III, §1，Exer.8）时，$H \times \mathscr{M}(T)$到$\mathscr{M}(X)$的映射$(\pi, \lambda) \mapsto \pi(\lambda)$不一定是连续的。

b) 如果 B 是 $\mathscr{M}(T)$ 的有界子集，则证明当空间 $\mathscr{M}(T), \mathscr{M}(X)$ 中的每一个都配备了模糊拓扑时，映射 $(\pi, \lambda) \mapsto \pi(\lambda)$ 的限制到 $H \times B$ 是连续的（利用第 15 章的命题）。 III, §1）。

c) 当$\mathscr{M}(T)$和$\mathscr{M}(X)$配备模糊拓扑时，证明$H \times \mathscr{M}_+(T)$到$\mathscr{M}_+(X)$的映射$(\pi, \lambda) \mapsto \pi(\lambda)$是连续的（cf.Ch.III, §1，Exer.10）。

d) 当$\mathscr{M}(T)$配备了模糊拓扑（取T环面T并使用Ch.2的Exer.2b）时，将例（其中$T = X$是紧凑的，并且$\mathscr{P} \times \mathscr{M}(T)$的映射$(\pi, \lambda) \mapsto \pi(\lambda)$转换为$\mathscr{M}(X) = \mathscr{M}(T)$不是连续的）进行。 III, §4）。