习题 22, § 6

设X，Y为两个紧致空间，U为Banach空间$\mathscr{C}(X; \mathbf{R})$的连续线性映射转化为Banach空间$\mathscr{C}(Y; \mathbf{R})$，$\pi : X \to Y$为连续映射。假设对于每个$y \in Y$和每个函数$f \in \mathscr{C}(X; \mathbf{R})$，

证明在这些条件下，存在 Y 到 $\mathscr{M}_+(X)$ 中的模糊连续的映射 $\sigma : y \mapsto \sigma_y$，这样，对于每个 $y \in Y$，$\sigma_y$ 都由 $\pi^{-1}(y)$ 携带，并且对于所有 $x \in X$ 都有 $(U \cdot f)(\pi(x)) = \langle f, \sigma_{\pi(x)} \rangle$； 逆命题。 （考虑转置$^tU$。）