习题 9, § 7

令X，Y为两个局部紧凑的空间，$\pi : X \to Y$为连续的映射。如果对于集中在 $\pi(X)$ 上的 Y 上的每个正测度 $\nu$，映射 $\pi$ 被认为是保守的，则在 X 上存在一个正测度 $\mu$ 使得 $\nu = \pi(\mu)$。

a) 设X、Y、Z为三个局部紧的空间、$\pi : X \to Y$和$\pi' : Y \to Z$两个连续的映射； 集合 $\pi'' = \pi' \circ \pi$ 并假设映射 $\pi$ 是满射。证明如果 $\pi$ 和 $\pi'$ 是保守的，那么 $\pi''$ 也是保守的；相反，如果 $\pi''$ 是保守的，那么 $\pi'$ 也是保守的。

b) 假设对于每个$y \in \pi(X)$，Y 中存在一个 y 的开邻域V，这样，如果 $\pi_V : \pi^{-1}(V) \to V$ 是映射，重合与 $\pi$，则存在与 $\pi_V$ 关联的连续截面 (GT, I, §3, No. 5）。证明 $\pi$ 是保守的（利用 Exer.8）。

c) 令 Y 为配备离散拓扑和 $\pi : X \to Y$ 恒等映射的$\mathbf{R}$、X 集合 Y 的区间$[0, 1]$。证明映射 $\pi$ 不保守。