Bourbaki

习题 10, § 8

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积分, V, p. 117

Google 翻译生成的粗略草稿，质量较低。术语依照术语表，但句子可能有误；之后会由仔细的译文取代。

令 T 和 X 为两个局部紧凑空间，λ\lambda T 上的正测度，μ\mu X 上的有界正测度，使得 μ(X)=1\mu(X) = 1。令 ff 为 T×XT \times X 的每点处的数值函数 >0> 0，可与 log⁡f\log f 一起积分用于测度 λ⊗μ\lambda \otimes \mu。证明不等式

log⁡(∫exp⁡(∫log⁡f dμ) dλ)≤∫(log⁡∫f dλ) dμ \log \left( \int \exp(\int \log f\, d\mu)\, d\lambda \right) \leq \int (\log \int f\, d\lambda)\, d\mu

并证明等式不能保持除非ff相当于形式g⊗hg \otimes h的函数（应用几何平均值的不等式（Ch.IV, §6，Exer.7d）），对于每个t∈Tt \in T，到函数x↦f(t,x)/(∫f(t,x) dλ(t))x \mapsto f(t, x)/(\int f(t, x)\, d\lambda(t))。

解答

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