习题 12, § 8

令$T_i$ ($1 \leq i \leq n$) 为$n$ 局部紧凑空间，$\mu_i$ $T_i$ 右$1 \leq i \leq n$ 的正测度。对于每个指标$i$，用$E_i$乘积$\prod_{j \neq i} T_j$表示；令$f_i$在$T = \prod_{i=1}^n T_i$上为函数$\geq 0$，可测量$\mu = \bigotimes_{i=1}^n \mu_i$且*不依赖于*$t_i$；证明，如果对于 $1 \leq k \leq n$，函数 $f_k^{n-1}$ 对于测度 $\mu_1 \otimes \cdots \otimes \mu_{k-1} \otimes \mu_{k+1} \otimes \cdots \otimes \mu_n$ 可积，则 $f_1 f_2 \cdots f_n$ 是 $\mu$ 可积，并且

其中，对于每个指标$k$，一个集合$J_k = \int f_k^{n-1} d\mu_1 \cdots d\mu_{k-1} d\mu_{k+1} \cdots d\mu_n$（在$n$、应用、Lebesgue-Fubini定理和Hölder的不等式上继续进行归纳）。

由此推断，如果 $A$ 是 $T$ 的 $\mu$ 可测子集，则 $A_i$ 是 $E_i$ 上的投影，并且如果 $A_i$ 可积且测度为 $m_i$（对于测度$\bigotimes_{j \neq i} \mu_j$ on $E_i$)，则 $A$ 是 $\mu$ 可积且

检查这两个不等式中等式的情况。

推广到这样一种情况：不考虑$T_i$的$n-1$的$n$乘积，而是考虑$T_i$的$p$的$\binom{n}{p}$乘积，并且对$T$进行积分$\binom{n}{p}$ 函数 $\geq 0$ 中的乘积每个仅依赖于变量 $t_i$ 中的 $p$。对于例，如果 $F_{ij} = T_i \times T_j$ ($i < j$) 且 $f_{ij}$ 仅取决于变量 $t_i$ 和 $t_j$，则表明