习题 13, § 8

令$(T_\iota)_{\iota \in I}$为紧致空间族，对于每个$\iota \in I$，令$\mu_\iota$为总质量等于1的$T_\iota$的正测度。令$T$为乘积空间$\prod_{\iota \in I} T_\iota$和$\mu$ 乘积在$T$ 上测量$\bigotimes_{\iota \in I} \mu_\iota$（第III, §4, No. 5 章）。

a) 对于每个$\iota \in I$，令$K_\iota$是$T_\iota$的紧凑子集；证明如果$K = \prod_{\iota \in I} K_\iota$则$\mu(K) = \prod_{\iota \in I} \mu_\iota(K_\iota)$。

b) 设$M$是$T$的紧子集。证明存在 $I$ 的可数子集 $J$，使得设定 $H = I - J$、$T_J = \prod_{\iota \in J} T_\iota$、$\mu_J = \bigotimes_{\iota \in J} \mu_\iota$、$T_H = \prod_{\iota \in H} T_\iota$，其中一个有 $M \subset N \times T_H$，其中 $N$ 是$\mu_J$-可测量$T_J$的子集，使得$\mu_J(N) = \mu(M)$。 （观察到，对于每个$n > 0$，都存在$M$、初等集合的有限数的并，其度量与$\mu(M)$相差小于$1/n$。）由此，对于几乎每个$x \in N$，推出： 截面$M(x) \subset T_H$（当$T$与乘积$T_J \times T_H$识别时）包含乘积措施$\mu_\iota$对$\iota \in H$的支持（利用Lebesgue-Fubini定理）。

c) 证明如果$I$是可数的，并且对于每个$\iota \in I$，$A_\iota$是$T_\iota$的$\mu_\iota$可测子集，那么集合$A = \prod_{\iota \in I} A_\iota$是$\mu$可测，并且$\mu(A) = \prod_{\iota \in I} \mu_\iota(A_\iota)$。

d) 假设$I$是不可数的。对于每个 $\iota \in I$，令 $A_\iota$ 为 $T_\iota$ 的 $\mu_\iota$ 可测量子集。对于$A = \prod_{\iota \in I} A_\iota$是$\mu$可测的，满足以下两种情况之一是必要且充分的：$1^\circ \prod_{\iota \in I} \mu_\iota(A_\iota) = 0$； $2^\circ$ $A_\iota$ 包含对$\mu_\iota$措施的支持，也许除了$I$中可数的子集中的指标$\iota$。在这两种情况下，$\mu(A) = \prod_{\iota \in I} \mu_\iota(A_\iota)$。 （假设不属于上述两种情况中的任何一种，则表明对于所有 $\iota \in I$，可以将约化变为 $\mu_\iota(A_\iota) = 1$。使用 $b$），表明 $A$ 和 $T - A$ 都不能将非零的的包含紧集测量。）