习题 16, § 8

令$(T_n)$为紧致空间的无限序列，$\mu_n$为总质量等于1的$T_n$的正测度，$\mu$乘积测度$T = \prod_{n=1}^\infty T_n$上的$\bigotimes_{n=1}^\infty \mu_n$。

a) 令f为函数$\geqslant 0$，$\mu$在T上可积。令$(L_n)$为$\mathbf{N}$的子集递增序列，以及，设定$M_n = \mathbf{N} - L_n$，令$g = \sup_n f_{L_n}$， $h = \sup_n f_{M_n}$（Exer.15 的记号）。对于每个$\alpha > 0$，令$A_\alpha$为点$t \in T$的集合，其中$g(t) > \alpha$，以及点$t \in T$的$B_\alpha$集合，其中$h(t) > \alpha$。证明 $\alpha \cdot \mu(A_\alpha) \leqslant \int f d\mu$ 和 $\alpha \cdot \mu(B_\alpha) \leqslant \int f d\mu$。 （观察$A_\alpha$是$t \in T$的集合，其中$f_{L_n}(t)$中至少有一个是$> \alpha$，并将其表示为集合$G_n$的可数并，成对的不相交的，这样$\alpha \cdot \mu(G_n) \leqslant \int_{G_n} f d\mu$。）

b) 假设$(L_n)$是$\mathbf{N}$的有限子集中的递增序列，其中并是$\mathbf{N}$。证明 $f_{L_n}$ 几乎处处趋向于 f，并且 $f_{M_n}$ 在 T 中几乎处处趋向于常数 $\int f d\mu$。 （对于每个$\varepsilon > 0$，考虑一个连续的函数 g，仅取决于有限的数变量，使得$\int |f - g| d\mu \leqslant \varepsilon$，并将a）应用于函数$|f - g|$。）