习题 17, § 8

令$(T_\iota)_{\iota \in I}$为紧致空间的任意族；对于每个$\iota \in I$，令$\mu_\iota$为$T_\iota$的正测量，总质量等于1，并令$\mu$为乘积测量$T = \prod_{\iota \in I} T_\iota$上的$\bigotimes_{\iota \in I} \mu_\iota$。对于每个$\iota \in I$，令$f_\iota$为函数$\geqslant 0$定义在$T_\iota$、$\mu_\iota$可积，并且$\int f_\iota d\mu_\iota \leqslant 1$； 集合 $\mu'_\iota = f_\iota \cdot \mu_\iota$ 和 $\mu' = \bigotimes_{\iota \in I} \mu'_\iota$（第 III, §4 章，练习 6）。假设$\mu' \neq 0$。

a) 对于I、集合、$T_J = \prod_{\iota \in J} T_\iota$、$\mu_J = \bigotimes_{\iota \in J} \mu_\iota$、$\mu'_J = \bigotimes_{\iota \in J} \mu'_\iota$、$f_J(t) = \prod_{\iota \in J} f_\iota(\mathrm{pr}_\iota t)$、$g_J = \sqrt{f_J}$、$\mu''_J = \sqrt{\mu_J \mu'_J}$ (§ 5, No. 9) 和 $\rho(\mu_J, \mu'_J) = \mu''_J(T_J) = \int g_J d\mu_J$ 的每个有限子集 J。证明，对于函数$g_J$在$\mathscr{L}^2(T, \mu)$中以二次均值收敛到函数，对于$I$的有限子集的有向有序集合，数的乘积是充分必要的$\rho(\mu_\iota, \mu'_\iota)$收敛于$\mathbf{R}_+^*$，即$> 0$。 （对于两个有限子集$J, L$，使得$J \subset L$，通过$\rho(\mu_\iota, \mu'_\iota)$评估范数$N_2(g_J - g_L)$。）由此推导出函数$f_J$，然后均值收敛到函数$f \geq 0$，使得$\mu' = f \cdot \mu$。

b) 证明如果乘积 $\prod_{\iota \in I} \rho(\mu_\iota, \mu'_\iota)$ 是零，则测度 $\mu$ 和 $\mu'$ 是外来的（考虑点 $t \in T$ 的集合 $A_J$ 使得 $g_J(t) > 1$，并评估测度$\mu(A_J)$ 和 $\mu'(T - A_J)$）。