习题 20, § 8

a) 令$\nu$为$\mathbf{C}$中单位圆$U : |z| = 1$的正测度，并令$\mu$为复测度$j \cdot \nu$，其中$j : z \mapsto z$是$U$到$\mathbf{C}$的典范嵌入，因此$|\mu| = \nu$。令$\rho$是$\nu$的逆像，在$\mathbf{R}$的规范局部同胚$\varphi : t \mapsto e^{it}$到$U$（§ 6, No. 6）上。令$A$为$U$的$\nu$可测子集；如果$\mu(A) = |\mu(A)|e^{i\omega}$，则显示$|\mu(A)| \leq \left| \int_{\omega-\pi/2}^{\omega+\pi/2} \Re(e^{i(\theta-\omega)})\ d\rho(\theta) \right|$。

b) 从a)推出，当$A$超过$\mu$的集合-可测量子集或$U$时，有

以及由此得出的结论 （借助 Lebesgue–Fubini 定理计算最后一个积分）。

c) 表明不等式 (*) 对于局部紧凑空间 X 上的每个有界复测度都成立，其中 A 运行超过 $\mu$ 可测量子集的 X 的集合。 （设 $\mu = h \cdot |\mu|$，其中 h 取 U 中的值。考虑像在 U 上测量 $\nu = h(|\mu|)$ 并显示 $h(\mu) = j \cdot \nu$；然后将 b) 应用于 $h(\mu)$。）