习题 4, § 8

a) 令 T、T' 为两个局部紧致空间在无穷大可数，$\mu$ T 上的正测度，$\mu'$ T' 上的正测度。证明对于 $T \times T'$ 到 $\mathbf{R}$ 的每个 $(\mu \otimes \mu')$ 可测映射 $f$，函数 $F : t \mapsto \int^* |f(t,t')| d\mu'(t')$ 是 $\mu$ 可测（将 T' 视为递增的并） 序列紧集）。

b) 此外，假设对于几乎每个$t \in T$（对于$\mu$）函数$f(t,\cdot)$ 都是$\mu'$可积，并且对于几乎每个$t' \in T'$（对于$\mu'$）函数$f(\cdot,t')$是$\mu$-可积；最后，假设函数（几乎所有地方都为$\mu$定义）$t \mapsto \int f(t, t')\ d\mu'(t')$是$\mu$可积。证明函数（几乎所有地方都为$\mu'$定义）$t' \mapsto \int f(t, t')\ d\mu(t)$则$\mu'$可积，并且

（凭借 a），T 的划分由 $\mu$ 可忽略的集合 N 和紧集的序列 $(K_n)$ 组成，使得函数 $f \varphi_{K_n \times T'}$ 中的每一个都是 $(\mu \otimes \mu')$ 可积的。 集合

并应用Exer。 §5 中的 20 个。）

c) 令 T 为 $\mathbf{R}$ 的区间 $[0, 1]$，$\mu$ T 上的勒贝格测度。对于每个整数 $n > 0$，令 $A'_n = \left[ \frac{1}{2n}, \frac{3}{2n+1} \right]$、$A''_n = \left[ \frac{3}{2n+1}, \frac{1}{2n-1} \right]$，并且在乘积空间 $T \times T$，让$B'_n = A'_n \times A'_n$，$B''_n = A''_n \times A''_n$，$C'_n = A'_n \times A''_n$，$C''_n = A''_n \times A'_n$。 $B'_n$和$B''_n$中的集合$f(t, t') = 4^{n+1}$，$C'_n$和$C''_n$中的$f(t, t') = -4^{n+1}$，对于每个整数$n > 0$，以及其他点中的$f(t, t') = 0$ $T \times T$。证明两个积分 $\int d\mu(t') \int f(t, t')\ d\mu(t)$ 和 $\int d\mu(t) \int f(t, t')\ d\mu(t')$ 已定义且相等，但函数 $f$ 对于测度 $\mu \otimes \mu$ 不可积。