习题 6, § 8

a) 令 T 为局部紧致空间，$\nu$ T 上的正测度，I $\mathbf{R}$ 的区间，$\mu$ I 上的正测度。令 A 为乘积 $I \times T$ 的子集，使得：对于 A 在 x 处的每 $x \in I$、截面 $A(x) \subset T$，1° 是 $\nu$ 可测的； 2° 关系 $x \leq y$ 意味着 $A(x) \subset A(y)$。证明 A 是 $(\mu \otimes \nu)$ 可测的。 （约化对于I和T是紧致的，$\mu$是发散的情况；考虑I、$x_0$和$x_n$的点的递增序列$(x_i)_{0 \leq i \leq n}$为I，使得$\mu([x_i, x_{i+1}]) \leq \varepsilon$适合$0 \leq i \leq n-1$，以及形式两个子集B，$I \times T$的C，可测量$\lambda = \mu \otimes \nu$，并且使得$B \subset A \subset C$和$\lambda(C - B) \leq \varepsilon \nu(t)$。）

b) 从a)推导出，如果$f$是在$I \times T$上定义的数值函数，则：每个$x \in I$、$t \mapsto f(x, t)$为1°，$\nu$可测量，并且每个$t \in T$、$x \mapsto f(x, t)$为2° 递增，那么 $f$ 是 $(\mu \otimes \nu)$ 可测的。

c) 设$g$为$I \times T$上定义的数值函数，使得：对于每个$x \in I$为1°，$t \mapsto g(x, t)$是$\nu$可测量的；每个 $t \in T$ 为 2°，$x \mapsto g(x, t)$ 是单调的。从 b) 推导出 $g$ 是 $(\mu \otimes \nu)$ 可测的。 （令$T_1 \subset T$为$t \in T$的集合，使得映射$x \mapsto g(x, t)$为递增；证明$T_1$是$\nu$可测的。为此，对于每个对$(r_1, r_2)$有理数数属于至 I，使得 $r_1 \leq r_2$，考虑点 $t \in T$ 的集合 $D_{r_1, r_2}$，使得 $g(r_1, t) \leq g(r_2, t)$ 并将 $T_1$ 表达为交集合$D_{r_1, r_2}$。）