习题 7, § 8

a) 设T、T'为两个局部紧的空间；假设 T' 承认可数基。 令 $\mu$ 为 T 的正测度，$\mu'$ 为 T' 的正测度。 令 $f$ 为在 $T \times T'$ 上定义的数值函数 $\geq 0$，以 $T \times T'$ 的每个紧凑子集为界，并且这样： 对于几乎每个 $t \in T$、函数 $t' \mapsto f(t, t')$，$1^\circ$ 为$\mu'$-可测量；每函数 $h \in \mathscr{K}(T')$、函数 $2^\circ$

几乎到处都有定义，是$\mu$可测的。 证明，在这些条件下，存在函数$g$，可测量$\mu \otimes \mu'$，这样对于每个$t \in T$，除了在$\mu'$可忽略的集合$A_t$的点之外，都有$f(t, t') = g(t, t')$ （取决于$t$）。 （证明对于每一个函数 $\varphi \in \mathscr{K}(T \times T')$，函数 $t' \mapsto f(t, t') \varphi(t, t')$ 对于几乎每一个 $t \in T$ 都是 $\mu'$ 可积的，并且几乎在任何地方都定义的函数 $t \mapsto \int f(t, t') \varphi(t, t') d\mu'(t')$ 是 $\mu$ 可积的；可以利用引理第 1 章。 III, §4, No. 1。 接下来观察$\varphi \mapsto \int d\mu(t) \int f(t, t') \varphi(t, t') d\mu'(t')$是$T \times T'$的正测度，基$\mu \otimes \mu'$，并应用Lebesgue-Nikodym定理；最后，利用 $\mathscr{K}(T')$ 中存在可数稠密集合的事实。）

b) 此外，假设 $T$ 是可度量的。证明 a) 的条件满足，如果： $1^\circ$ 对于几乎每个 $t' \in T'$，函数 $t \mapsto f(t, t')$ 是 $\mu$ 可测的； $2^\circ$几乎对于每一个$t \in T$，函数$t' \mapsto f(t, t')$几乎在任何地方都是连续的（对于$\mu'$）。 （使用第 IV, §5 章的练习 13。）

c) 取$T = T' = [0, 1]$。承认连续统假设（S，Ch.III, §6, No. 4），令$x \prec y$是$T$上的良序关系，其中没有最大元素，并且对于每个$x \in T$，$z \prec x$的集合是可数的。如果采用$\mu = \mu'$勒贝格测度，则表明对$(t, t')$的集合的特征函数$f$使得$t \prec t'$满足a)的条件，但对于每个$t' \in T'$满足$\int f(t, t') d\mu(t) = 0$，并且每$t \in T$对应$\int f(t, t') d\mu'(t') = 1$。