习题 1, § 1

考虑局部紧凑空间 T, T' 与区间 [0, 1] 相同，并且 T 和 T' 上的测度 $\mu, \mu'$ 分别与勒贝格测度相同。设 F 是希尔伯特空间，承认可数正交基，排列在双序列$(e_{mn})$；设 $F' = F$ 为它的对偶。 集合$u_m(t) = e_{mn}$适用于$(n-1)2^{-m} \leq t < n2^{-m}$和$1 \leq n \leq 2^m$； 集合 $f(t, t') = 2^m u_m(t)$ $2^{-m} < t' \leq 2^{-m+1}$，最后$f(t, 0) = 0$ 和 $f(1, t') = 0$。证明 $f$ 对于乘积测度 $\mu \otimes \mu'$ 是可标量可积的，但是函数 $t' \mapsto f(t, t')$ 对于任何 $t \in T$ 都不是$\mu'$ 标量可积。