习题 21, § 1

令 $f$ 为 $T$ 的标量良好可积映射为准完备 Hausdorff 局部凸空间 $F$。 a) 证明$L^\infty$的单位球的$g \mapsto \int gf\, d\mu$下的像对于*原始*拓扑来说是$F$的相对紧凑子集，在以下每种情况下：$1^\circ$存在可数稠密子集 $F$； $2^\circ$$F$是可度量的空间$G$的对偶$G'$或者是可度量的空间严格的序列直极限，$F$配备拓扑 $\tau(G', G)$。 （利用 Exer.19 c）和 Exer.19c）。 20；如果是 $2^\circ$，请使用 Smulian 的定理（TVS、IV, §5、Exer.2 c))。） b) 证明当 $F$ 上没有新的假设时，假设 $f$ 可测量，a) 的结论仍然有效。 （将$F$嵌入Banach 空间的乘积中，约化对于$F$是Banach空间的情况；然后，使用Exer.19a），约化对于$T$是紧致的情况；然后应用a)的情况$1^\circ$。）