习题 22, § 1

在 Hausdorff 局部凸空间 $F$ 中，令 $(z_\alpha)_{\alpha \in A}$ 为族，使得当 $A$ 配备了由每个点处的质量 +1 定义的度量时，映射 $\alpha \mapsto z_\alpha$ 是标量可积的（Exer. 19）。 a) 证明族 $(z_\alpha)$ 对于每个拓扑 $\mathscr{T}$ 都是*可求和的*，与 $F$ 和 $F'$ 之间的对偶性兼容（利用 Exer. 19 a)）。当$F$对于$\mathscr{T}$来说是准完备的时，逆命题。 b) 假设$F = G'$，$F' = G$，其中$G$是Hausdorff局部凸空间，使得$G'$中存在可数强稠密子集。证明$(z_\alpha)$ 对于$G'$ 上的*强* 拓扑是可求和的（这不一定与$G'$ 和$G$ 之间的对偶性兼容（cf. Exer.19d））。证明这个结果并不扩展到$G = L^1(\mathbf{N})$、$G' = L^\infty(\mathbf{N})$的情况。