习题 27, § 1

令 E 为可​​分离的实 Banach 空间，$G = E'$ 它的对偶，$G'$ 子空间，它在 E 中是稠密的，与 E 不同，并且是桶状的（TVS，III, §4，Exer.4）。证明如果G具备拓扑$\sigma(G, G')$，且其对偶$G' = \mathscr{L}(G; \mathbf{R})$与拓扑紧致收敛，则$G'$不是拟完备的，$G'$趋于0和序列中存在序列$(x_n)$ 数 $> 0$ 的 $(\lambda_n)$ 且和有限，使得级数与一般项 $\lambda_n x_n$ 不收敛于 $G'$。 （首先观察 G 的每个子集以 $\sigma(G, G')$ 为界，都以范数为界。考虑点 $a \in E$ 而不是属于到 $G'$，以及点的序列 $(a_n)$ $G'$ 收敛于 E 中的$a$，并且使得 $\|a_{n+1} - a_n\| \leq 1/2^n$。）