习题 7, § 1

a) 令$F = \overline{\mathscr{K}(\mathbf{N})}$为实数趋于0的序列的Banach空间，$F' = L^1(\mathbf{N})$其对偶（TVS，IV, §1，Exer.1）。令$f = (f_n)$为$I = [0,1]$到$F$的映射，使得$f_n(t) = n \varphi_{I_n}(t)$，其中$I_n = [0,1/n]$。证明 $f$ 对于 $I$ 上的勒贝格测度 $\mu$ 是标量可积的，但 $\int f\,d\mu$ 是 $F''$ 的元素，不在 $F$ 中。

b) 设$g$为$J = [-1,+1]$的映射到$F$，对于$t \geq 0$由条件$g(t) = f(t)$定义，对于$t \leq 0$由$g(t) = -f(-t)$定义。那么$g$对于$J$和$\int g\,d\mu \in F$上的勒贝格测度是可标量可积的，但是存在函数$h \in \mathscr{L}^\infty$使得$\int hg\,d\mu \notin F$。

c) 从a) 推导出拓扑向量空间 $F$ 与赋范空间的对偶不同构的事实的新证明 (TVS, IV, §2, Exer. 22 c))。