习题 11, § 2

设F，G是两个Hausdorff局部凸空间，假设G是准完备的；令$u$为F到G的连续线性映射；它的转置$t_u$是强连续的，转置$t(t_u)$是$F''$到$G''$的强弱连续线性映射。证明以下条件是等价的：

将 F 的每个有界子集 $\alpha)$ $u$ 变换转换为$\sigma(G, G')$ 的相对紧凑的 G 子集。

$\beta)$$t(t_u)$映射$F''$进入G。

对于拓扑 $\sigma(G', G)$ 和 $\sigma(F', F'')$，$\gamma)$ $t_u$ 是连续的。

$\delta)$ $t_u$ 变换 $G'$ 的每个等连续子集进入集合对于 $\sigma(F', F'')$ 来说相对紧凑。

（利用 F 的每个有界子集在 $F''$ 中对于 $\sigma(F'', F')$ 来说是相对紧的这一事实。要看到 $\delta$ 蕴含 $\gamma$），首先考虑 G 是完备的情况，并使用 Cor。 1 Th。 2 个 TVS，III, §3, No. 6。为了传递到一般情况，将 G 嵌入到其完成中，并观察 $F''$ 的每个点都在 F 的有界子集的闭包中，对于拓扑 $\sigma(F'', F')$。）