习题 18, § 2

a) 令 $T$ 为局部紧致空间，$(K_\alpha)$ 为$T$ 紧集的局部有限覆盖。令$\mu$为$T$的正测度，$\mu_\alpha$为$\mu$对$K_\alpha$引起的测度。假设空间$L^\infty(K_\alpha, \mu_\alpha)$中的每一个都具有提升性质。证明 $L^\infty(T, \mu)$ 具有升力性质。

b) 令 $K$ 为可度量紧致空间，$\mu$ $K$、$(\varpi_n)$ $K$ 的有限划分的基本序列（第 IV, §5，Exer. 17）可积的正测度集合。对于$K$的每个可积子集$A$和每个元素$\tilde{f} \in L^1(\mu)$，如果$\mu(A) = 0$则集合$\lambda_\alpha(\tilde{f}) = 0$，否则$\lambda_\alpha(\tilde{f}) = (\mu(A))^{-1} \int_A f d\mu$；对于每个$n$，集合$\rho_n(\tilde{f}) = \sum_k \lambda_{A_k}(\tilde{f}) \varphi_{A_k}$，如果$\varpi_n = (A_k)$。证明 $\mu$ 可积函数的序列 $(\rho_n(\tilde{f}))$ 几乎处处收敛于 $f$。 （首先考虑$f$是连续函数的情况。给定任意数$a > 0$，接下来显示所有集合$A$属于中的并$B$到划分中的至少一个$\varpi_n$ 且 $a \cdot \mu(A) \leq \int_A f d\mu$ 是可测的，且 $\mu(B) \leq a^{-1} \int f d\mu$。然后用连续函数的序列在 $L^1$ 中近似 $f$。）

c) 证明每个可度量紧凑空间都有提升性质。 （令 $\mathfrak{U}$ 为 $\mathbf{N}$ 更细上的超滤器，而不是 Fréchet 滤波器；表明 $\rho(\tilde{f}) = \lim_{\mathfrak{U}} \rho_n(\tilde{f})$ 是 $L^\infty$ 的提升。）

d) 从 a) 和 c) 推论出每个可度量的局部紧致空间都具有（对于任何正测度）提升性质。