习题 22, § 2

令$F$为空间的Hausdorff局部凸空间，$F$的子集的$\mathscr{G}$集合，对于$\sigma(F, F')$是凸的、平衡的、紧致的，以及子集的$\mathscr{G}'$集合 $F'$ 对于 $\sigma(F', F'')$ 来说是凸的、等连续的、平衡的、紧致的。

a) 假设$\mathscr{G}$中的每个集合对于$\mathscr{G}'$拓扑都是预紧的。证明 $F$ 的每一个连续线性映射 $u$ 都转化为准完备、Hausdorff 局部凸空间 $G$，即变换 $F$ 的有界子集转化为子集相对紧凑$\sigma(G, G')$、变换，每集合、属于到$\mathscr{G}$，变成$G$的子集，这对于原始拓扑来说相对紧凑。 （使用上面 TVS 的 Exer.4、IV, §1 和 Exer.11。）逆命题（考虑$F$ 的典范映射来完成$\mathscr{G}'$ 拓扑）。

b) 假设$F$是可度量的空间，或者是可度量的空间的严格直极限。证明如果$\sigma(F, F')$的每个柯西序列都是$\mathscr{G}'$拓扑的柯西序列，则满足a）的条件（利用Šmulian的定理（TVS，IV, §5，Exer.2c）））。

c) 假设 F 是桶内结构（TVS，III, §4，Exer.7），并用 $F''$ 的子集的$\mathscr{G}''$ 集合表示，对于 $\sigma(F'', F''')$ 是凸的、等连续的、平衡的、紧致的。证明，如果 $\mathscr{G}'$ 中的每个集合对于 $\mathscr{G}''$ 拓扑都是预紧的，那么 $\mathscr{G}$ 中的每个集合对于 $\mathscr{G}'$ 拓扑都是预紧的。 （使用TVS的Exer.4，IV, §1，并观察F的原始拓扑是由$F''$上的强拓扑诱发的。）