习题 23, § 2

令 T 为局部紧致空间，$\mu$ T 的正测度，F 为三个 Banach 空间 $\mathscr{K}(T)$、$L^1(\mu)$、$L^\infty(\mu)$ 之一。令 u 为 F 的连续线性映射到准完全空间 G，即 F 的变换单位球到 G 的子集中，对于 $\sigma(G, G')$ 来说相对紧凑。证明 u 变换 F 的每子集对于 $\sigma(F, F')$ 来说是相对紧致的，而到 G 的子集对于原始拓扑来说是相对紧致的。 （将Exer. 22 c）应用于约化，将案例$F = L^1(\mu)$应用于案例$F = L^\infty(\mu)$；使用Exer。第 13 章。 II, §1到约化情况$L^\infty(\mu)$到情况$F = \mathscr{C}(S)$，其中S是合适的紧凑空间。如果 $F = \mathscr{K}(T)$，则应用 Exer。 22 b)，然后使用 Exers。第 22 章 b) 和第 15 章。 V, §5； 注 $\sigma(F, F')$ 的柯西序列在 T 上逐点收敛，并且 更不必说 对于 T 上的每个有界测度在测度上收敛。）