习题 18, § 1

令X为局部紧致空间，G为在X上连续运行的紧致群，X的点的E轨道，以及连续数值函数上的$\mathscr{F}$向量空间 X，使得对于每一个函数 $f \in \mathscr{F}$ 和每一个$s \in G$，都有 $\gamma(s)f \in \mathscr{F}$；假设在加法中，$\mathscr{F}$包含是X上的常数函数。令$x_0 \in X$在G下是点不变，并且对于每个函数$f \in \mathscr{F}$都有$|f(x_0)| \leq \sup_{y \in E} |f(y)|$。证明每个$z \in E$和每个$f \in \mathscr{F}$都有$f(x_0) = \int_G f(s \cdot z)\, ds$。 （证明总质量为 1 的 E 上存在正测度 $\nu$，使得每 $f \in \mathscr{F}$ 都有 $f(x_0) = \int_E f(z)\, d\nu(z)$，并应用 Lebesgue-Fubini 定理。） 在 $X = \mathbf{R}^n$ 的情况下，G 是正交的群和 $x_0 = 0$；应用公式 (7) / §2。