习题 19, § 1

令 X 为紧致空间，A 为 $\mathbf{R}$ 上的范数代数，其中单位元元素，G 为紧致群；假设 G 在 A 和 X 上连续运行，并且对于每个 $s \in G$，$a \mapsto s \cdot a$ 是代数 A 的自同构，这样对于所有 $a \in A$ 都有 $\|s \cdot a\| = \|a\|$。 X 到 A 的映射 $f$ 被认为在 G 下是协变的，如果

对于所有 $s \in G$ 和 $x \in X$。设B为协变连续函数的$A^X$由……组成的子环和包含所有X的协变连续映射进入$\mathbf{R}$（$\mathbf{R}$与A的子代数等同；观察到对于这样的映射$g$，$g(s \cdot x) = g(x)$对于所有$s \in G$和$x \in X$）。令$f$为X到A的协变连续映射，并假设对于每个$y \in X$，都存在映射$g_y \in B$使得$f(y) = g_y(y)$。那么，对于每个 $\varepsilon > 0$，都存在映射 $g \in B$，这样对于所有 $x \in X$ 都存在 $\|f(x) - g(x)\| \leq \varepsilon$。 （在X上使用单位元$(\varphi_i)$的合适连续划分，并引入函数$h_i$，使得$h_i(x) = \int_G \varphi_i(s \cdot x)\, ds$。）