习题 25, § 1

标签 09ES，永久不变。引用为 [Bourbaki, Tag 09ES]。

积分, VII, p. 85

Bourbaki marks this one as harder than the rest.

Google 翻译生成的粗略草稿，质量较低。术语依照术语表，但句子可能有误；之后会由仔细的译文取代。

a) 令 $f$ 为定义在 $\mathbf{R}$ 上的正数值函数，可积（对于 $\mathbf{R}$ 上的勒贝格测度 $\mu$ ），有界且具有紧支持。让 $\gamma = \sup_{t \in \mathbf{R}} f(t)$ 。对于每个 $w \in \mathbf{R}$ ，用 $t \in \mathbf{R}$ 的 $U_f(w)$ 集合表示，使得 $f(t) \geq w$ ；集合 $\nu_f(w) = \mu^*(U_f(w))$ 。证明对于每 $\alpha > 1$ ，

\int_{-\infty}^{+\infty} f^\alpha(t) \, dt = \int_0^\gamma \nu_f(w) \alpha w^{\alpha-1} \, dw .

b) 令 $g$ 为第二个数值函数满足，与 $f$ 相同的条件，以及集合 $\delta = \sup_{t \in \mathbf{R}} g(t)$ 。如果 $f(u)g(v) \neq 0$ ，则令 $h$ 为 $\mathbf{R}^2$ 上由 $h(u, v) = f(u) + g(v)$ 定义的函数，否则为 $h(u, v) = 0$ ；最后，集合 $k(t) = \sup_{u+v=t} h(u, v)$ ，因此 $k$ 是正的，可积，有界，并且有紧支撑。证明对于每 $\alpha > 1$ ，

\int_{-\infty}^{+\infty} k^\alpha(t) \, dt \geq (\gamma + \delta)^\alpha \left( \frac{1}{\gamma^\alpha} \int_{-\infty}^{+\infty} f^\alpha(t) \, dt + \frac{1}{\delta^\alpha} \int_{-\infty}^{+\infty} g^\alpha(t) \, dt \right) .

（观察到对于 $0 < w < 1$ ，有 $U_k(\gamma w + \delta w) \supset U_f(\gamma w) + U_g(\delta w)$ ，并使用 a）和 Exer。 23 d).)

c) 令 $\mu_n$ 为 $\mathbf{R}^n$ 上的勒贝格测度，A和B是 $\mathbf{R}^n$ 的两个可积子集。证明 (Brunn–Minkowski 不等式)

((\mu_n)_*(A+B))^{1/n} \geq (\mu_n(A))^{1/n} + (\mu_n(B))^{1/n} .

（约化对于A和B是紧的情况。然后使用Exer.23d）右 $n$ 进行归纳论证，b）中证明的Lebesgue-Fubini定理，不等式，以及Hölder的不等式。）

解答

尚未写出解答。

被以下引用

无。

引用了

无。