习题 9, § 2

令 X 为局部紧致空间，H a 紧致 群在 X 的右侧连续运行（因此正确）。用 $\beta$ 表示 H 上的归一化 Haar 度量，用 $\pi : X \to X/H$ 典范映射。令$\lambda$为X/H的正测度，$\lambda^\#$相应的为X的测度。

a) 证明如果 N 是 X/H 的 $\lambda$-可忽略的子集，则 $\overline{\pi}^{-1}(N)$ 是 $\lambda^\#$-可忽略。 （计算集合 $\overline{\pi}^{-1}(U)$ 的度量，其中 U 在 X/H 处开路。）

b) 令$p$为有限数$\geqslant 1$，并令$f$为$\mathscr{L}_F^p(X, \lambda^\#)$中的函数（F a Banach空间或$F = \overline{\mathbf{R}}$）。证明 $x \in X$ 的集合使得 $\xi \mapsto f(x\xi)$ 在 H 上不可 $\beta$ 可积，其值为形式 $\overline{\pi}^{-1}(N)$，其中 N 为 $\lambda$ 可忽略不计。此外，如果$f^b$在X/H上是函数，几乎在任何地方都定义（对于$\lambda$），使得$f^b(\pi(x)) = \int_H f(x\xi) d\beta(\xi)$，那么$f^b$属于到$\mathscr{L}_F^p(X/H, \lambda)$，以及$N_p(f^b) \leqslant N_p(f)$。

c) 相反，如果$g \in \mathscr{L}_F^p(X/H, \lambda)$，则函数$g \circ \pi$属于至$\mathscr{L}_F^p(X, \lambda^\#)$。如果$p, q$是共轭指数，$F'$是F、$f \in \mathscr{L}_F^p(X, \lambda^\#)$和$g \in \mathscr{L}_{F'}^q(X/H, \lambda)$的对偶，那么