习题 10, § 3

令D为行列式为1的$\mathbf{R}^3$位移的群、$SO(3, \mathbf{R})$的半直接乘积和平移群T。我们雇佣 Exer 的记号 $\sigma(\varphi, \psi, \theta)$。 9，并用$t(\xi, \eta, \zeta)$表示与向量$(\xi, \eta, \zeta)$的翻译。

a) 令 H 为 D 的闭合子群，使得 $\mathbf{R}e_3$ 稳定并保持 $\mathbf{R}e_3$ 上的方向。证明 H 是平移 $t(0, 0, \zeta)$ 的群和旋转 $\sigma(\omega, 0, 0)$ 的群的乘积。由此推论，齐次空间 $E = D/H$ 可以与 $\mathbf{R}^3$ 定向仿射线的空间等同，在 D 下具有测度不变量，并且在常数因子之前，只有一个。 （利用练习 5 a)。）

b) 设$E_1$为E的开子空间，由不与$e_3$正交的有向线形成；这样一条定向线可以通过交的点与$\mathbf{Re}_1 + \mathbf{Re}_2$的坐标$\xi', \eta'$以及方向向量的坐标$(\sin \varphi \sin \theta, -\cos \varphi \sin \theta, \cos \theta)$来确定。证明 $D$ 下 $E_1$ 不变量的测度由下式给出