习题 11, § 3

令$G$为紧凑的群$O(n, R)$，$\lambda$为$G$的归一化哈尔测度。对于$0 < k < n$，令$H$为$G$的闭子群，使$\mathbf{R}^n$的子空间$\mathbf{R}^k$保持不变（全局）；齐次空间$G/H$，配备其商拓扑，可以用$\mathbf{R}^n$的$k$维线性子空间的格拉斯曼$E = G_{n-1, k-1}(\mathbf{R})$（GT，VI, §3, No. 6）进行规范识别。在$G$下，$E$不变量有一个测度$\mu$，确定为常数。对于每个子空间$P \in E$，令$\sigma_P$为$s \in G$下$\mathbf{R}^k$勒贝格测度的像，使得$s \cdot \mathbf{R}^k = P$（独立于元素$s \in G$满足此关系）。证明$\mu$可以通过满足以下性质的方式进行选择：对于具有紧凑支持的$\mathbf{R}^n$上的每个连续函数$f$，并且对于每个$P \in E$，有一个集合$F(P) = \int_P f(x) d\sigma(x)$；然后

（如果$P_0 = \mathbf{R}^k$、注，则可以将$\int_E F(P) d\mu(P) = c \int_G F(s \cdot P_0) d\lambda(s)$写为合适的常数$c$，另一方面，

记号为习题 8；最后，使用Exer。 8 b).)