习题 8, § 3

a）证明$S_{n-1}$上存在一个测度$\omega_{n-1}$在$O(n, \mathbf{R})$下不变，并且直到常数因子，只有一个（将$S_{n-1}$视为$O(n, \mathbf{R})$的齐次空间）。

b) 映射 $(t, z) \mapsto tz$ 允许识别拓扑空间 $\mathbf{R}^n - \{0\}$ 与拓扑空间 $\mathbf{R}_+^* \times S_{n-1}$。证明由 $\mathbf{R}^n$ 上的勒贝格测度在 $\mathbf{R}^n - \{0\}$ 上引发的测度可以被识别，直到常数因子，以及 $t^{n-1} dt \otimes d\omega_{n-1}(z)$。 （利用$\mathbf{R}^n$上的勒贝格测度在$O(n, \mathbf{R})$下不变的事实，以及中心0和半径$r$的封闭球的勒贝格测度与$r^n$成比例这一事实。）

c) 设$L_h$为$S_{n-1}$和超平面$x_n = h$中的交。非空$L_h$是$O(n-1, \mathbf{R})$在$S_{n-1}$中的不及物性类。证明$\omega_{n-1}$可以放入形式$\int \lambda_h d\nu(h)$中，其中$\lambda_h$是$O(n-1, \mathbf{R})$下的测度不变量并由$L_h$携带，$\nu$是$[-1, 1]$上的测度。通过$z \mapsto he_n + \sqrt{1-h^2} z$识别$L_h$与$S_{n-2}$，可以假设$\lambda_h = \omega_{n-2}$。令 $K_\theta$ 为由 $\sin \theta \leq x_n \leq 1$ 定义的 $S_{n-1}$ 的子集。通过计算集合对$tz$的勒贝格测度（$0 \leq t \leq 1$，$z \in K_\theta$），证明$\omega_{n-1}(K_\theta)$与$\int_\theta^{\pi/2} \cos^{n-2} \varphi \, d\varphi$成正比。由此推论，如果集合$h = \sin \theta$（$-\pi/2 \leq \theta \leq \pi/2$），则测度$\nu$可以与$\cos^{n-2} \theta \, d\theta$识别。

d) 结论，由 $n$ 归纳发送，即

哪里

$-\pi/2 \leq \theta_i \leq \pi/2$ 为$1 \leq i \leq n-2$，$0 \leq \theta_{n-1} < 2\pi$。