Bourbaki

习题 14, § 4

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积分, VIII, p. 68

Google 翻译生成的粗略草稿，质量较低。术语依照术语表，但句子可能有误；之后会由仔细的译文取代。

a) 令 G 为局部紧致群，ff G 上的下半连续正函数，μ\mu G 上的正测度。证明函数

x↦∫∗f(s−1x) dμ(s)=g(x) x \mapsto \int^* f(s^{-1}x)\, d\mu(s) = g(x)
在 G 上是下半连续的 (cf. Ch. IV, §1, No. 1, Th. 1)；为了使 μ\mu 和 ff 可卷积，gg 对于 G 上的左 Haar 测度来说是可积的。

b) 在群G=R×RG = \mathbf{R} \times \mathbf{R}上，令μ\mu为ε0⊗λ\varepsilon_0 \otimes \lambda测度，其中λ\lambda为R\mathbf{R}上的勒贝格测度；让f(x,y)=(1−∣xy−2∣)+f(x, y) = (1 - |xy - 2|)^+；表明函数

g(x,y)=∫f(x−s,y−t) dμ(s,t) g(x, y) = \int f(x - s, y - t)\, d\mu(s, t)
在 G 上处处有限，但不连续且对于 G 上的勒贝格测度不可积。

解答

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